# 【计算机基础】关于进制
# 进制是什么 & 常见的进制
学计算机，那就肯定得懂一样东西 —— 进制（哪怕你没有学过，多少也会懂点）
那进制是啥？
进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的 “正” 字计数法，以及类似的 tally mark 计数）。 对于任何一种进制 —X 进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢 X 进一位。 十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x 进制就是逢 x 进位。
进制这玩意，说白了就是我们数数的一个方式，像啥十进制（大家都知道的）就是满十进一
那进制有啥呢？常见的进制有：
- 十进制最常见的，对人来说最常用的
- 二进制计算机里面用的，计算机的底层进制就是二进制，这是因为计算机是由逻辑电路组成的，而逻辑电路通常只有两个状态：开关的接通与断开，这两种状态正好可以用二进制的 1 和 0 表示。二进制是非常常见的，天生就与计算机有着紧密的关系，它正好能代表高低电平，开关的接通与断开，也与逻辑学中的真，假相吻合（布尔类型的 True 和 False）
- 八进制常见于计算机，经常用于简化二进制的计算，但用得也确实比较少
- 十六进制也是计算机中经常使用的，经常用来表示存储器的地址，用得稍微比八进制多一点。八进制和十六进制只是为了简化二进制的存在的。在计算器底层中，是只能使用二进制的，但是二进制只有 0 和 1，动不动就进位，导致二进制数的位数通常都很多，难以记录，所以经常使用八进制和十六进制来简化。
- 为什么是十六进制和八进制来帮忙？而不是我们更加熟悉的十进制？原因很简单，十六进制的基数是 16，八进制的基数是 8，二进制的基数是 2，十进制的基数是 10。它们之中，16 是 2 的 4 次方，8 是 2 的 3 次方（立方），但 10 与 2 并没有什么整数次方的关系。
上面这些呢，都是我们日常能见到的进制
# 各个进制的特点
# 十进制的特点：
- 简写：DEC
- ** 特点：** 满十进一
- ** 计数 ：**0、1、2、3、4、5、6、7、8、9（10、11、12…19、20…）到九了，但我们是满十进一，个位变成 0，向十位进一，那下一位就是 10。个位满十，向十位进一；十位满十，向百位进一……
- ** 单位数字：**10 个（0-9）
# 二进制的特点：
- 简写：BIN
- ** 特点：** 满二进一
- ** 计数：**0、1（10、11、100…）到一了，但我们是满二进一，个位变成 0，向十位进一，那下一位就是 10。个位满二，向十位进一；十位满二，向百位进一……
- ** 单位数字：**2 个（0、1）
# 八进制的特点：
- 简写：OCT
- ** 特点：** 满八进一
- ** 计数：**0、1、2、3、4、5、6、7、（10、11、12…）到七了，但我们是满八进一，个位变成 0，向十位进一，那下一位就是 10。个位满八，向十位进一；十位满八，向百位进一……
- ** 单位数字：**8 个（0-7）
# 十六进制的特点：
- 简写：HEX
- ** 特点：** 满十六进一
- ** 计数：**0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F（10、11、12……1A、1B）到 9 了，之后的数字不能是像 10、11 一样的两位数，所以之后的数字以 A-F 代替 10-15。
- ** 单位数字：**16 个（0-F）
# 十进制与任意进制之间的互相转换
# 十进制转任意进制：
十进制转任意进制通常采用除基数，倒取余的办法，具体做法就是：把要转换的数除目标进制数的基数，直到整数变为 0 为止（下面以 43 转二进制为例）
43 整除 2，得 21，余 1
21 整除 2，得 10，余 1
10 整除 2，得 5，余 0
5 整除 2，得 2，余 1
2 整除 2，得 1，余 0
1 整除 2，得 0，余 1
把余数从下往上进行记录，得：101011
即 43 (10) =101011 (2)
其它数，其它进制同理，只是十六进制要记得用 A-F 替换 10-15
# 任意进制转十进制：
任意进制转十进制，一般用把二进制数按权展开、再相加的办法，举个例子（101011 转十进制）
12^5 + 02^4 + 12^3 + 02^2 + 12^1 + 12^0
=32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1
=43
即：101011 (2) = 43 (10)
其它数，其它进制同理，只是十六进制要记得先把 A-F 替换成相应的 10-15，再参与运算
# 十进制转任意进制（小数）：
十进制小数转换成二进制小数采用 “乘 2 取整，顺序排列” 法。下面以十进制转二进制（小数）为例：
具体做法是：先将整数部分与小数部分分开，整数部分直接转换成二进制数，小数部分的转换办法是：用 2 乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用 2 乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。（原因是：有很多小数转换成二进制是无限小数，只能取舍，所以一般会设定一个精度，达到精度后就停止计算。）
例如（5.625 转为二进制）：
分成 5、0.625
5 转换成二进制是：101，先放一边
0.625*2 = 1.25，取整为 1
0.25*2 = 0.5，取整为 0
0.5*2 = 1，取整为 1
顺着取整，得 101
所以 0.625 (10) = 0.101 (2)
所以 5.625 (10) = 101.625 (2)
如果小数部分怎么乘都不为 0 的话，那就按之前规定的，算到精度要求为止。
例如：0.56 转换为二进制（保留小数点后 5 位）
0.56*2 = 1.12，取整为 1
0.12*2 = 0.24，取整为 0
0.24*2 = 0.48，取整为 0
0.48*2 = 0.96，取整为 0
0.96*2 = 1.92，取整为 1
……
所以，0.56 (10) ≈ 0.10001 (2)
# 任意进制转十进制（小数）：
还是以二进制为例，二进制的小数转换为十进制主要是乘以 2 的负次方，从小数点后开始，依次乘以 2 的负一次方，2 的负二次方，2 的负三次方等。比如：0.101 转换为十进制：
12^-1 + 02^-2 + 1*2^-3
=½ + 0 + 1/8
=0.625
所以，0.101 (2) = 0.625 (10)
